Claude Fable 5 搵到雅可比猜想反例，數式驗到但「AI 證偽」要收窄
三維反例可以精確覆核，AI 同研究員各自做咗幾多仍未公開
TechNews 科技新報報道，Anthropic 數學家 Levent Alpöge 喺 7 月 20 日公開一組三維多項式映射。佢話朋友 Akhil 提出問題，再由 Claude Fable 5 協助處理。關鍵係呢組算式唔使單靠 Anthropic 或 AI 嘅講法：識符號代數嘅人都可以直接代入數值，再計雅可比行列式，睇吓個反例係咪成立。
87 年難題，其實問緊局部同全局
雅可比猜想由 Ott-Heinrich Keller 喺 1939 年提出。粗略講，一個多元多項式映射如果喺任何位置都冇「壓扁」空間，雅可比行列式又一直係同一個非零常數，咁成個映射係咪一定可以完整倒轉？微積分只保證每個細範圍附近倒轉到，猜想就再行遠一步，認為多項式嘅結構足以保證全局都唔會重疊。
Alpöge 公開嗰組三維映射，計出嚟嘅雅可比行列式固定係 −2，符合非零常數呢項前提；但佢同時列出三個唔同輸入點，全部去到同一個輸出點。既然一個結果有三個來源，映射自然冇可能唯一倒轉。把其中一個輸出座標乘以 −1/2，仲可以將行列式規格化做 1，避開「−2 算唔算」呢類枝節。
圖片：Anthropic
點解呢次驗算快過審一篇長證明
呢類反例同 AI 聲稱完成一篇證明好唔同，因為其他人可以直接驗算結果。長證明可能喺幾十頁中間藏住一步跳得太遠；明確反例就似一張細細張嘅測試樣本，驗證者只要做兩件事：計清楚行列式係咪永遠等於 −2，再把三組座標代入，確認輸出完全一樣。Zihan Zhang 公開嘅說明逐項寫出計算，Alexis Gallagher 嘅分析亦附有精確符號運算程式，唔靠浮點近似。
呢個驗證門檻低，正正係 AI 輔助研究值得留意嘅位置。模型可以喺龐大候選空間搵古怪結構，人類就把答案壓成一份短小、可重做嘅 certificate，再交畀其他研究者同電腦代數系統交叉檢查。AI 平日最令人頭痛係會作出似真嘅推論；今次輸出可以同模型本身分開驗，模型講過咩已經唔構成數學證據，算式先算。
「Claude 證偽」仲欠一段過程紀錄
公開帖文只交代 Akhil 提出問題，同埋 Fable 參與咗解題，未見完整 prompt、對話紀錄、搜尋咗幾多候選式，亦冇講 Alpöge 做過幾多提示、篩選同修正。Anthropic 官方資料證實 Fable 5 係公開推出、主打長時間推理同科研工作嘅模型；不過官方暫時冇就雅可比反例發表技術報告。按現有資料，寫成「Alpöge 用 Fable 5 協助搵到反例」會準確過把成個發現全數算落模型名下。
另一個要收清楚嘅範圍係維數。呢組反例直接推翻三維版本，再加上原封不動嘅額外座標，就可以延伸到所有三維以上情況；二維雅可比猜想仍然未解決。現階段亦未見正式期刊論文或同行評審版本，所以較穩陣嘅講法仍然係「已公布、可精確覆核嘅反例」。算式如果繼續經得起檢查，下一步值得追嘅就係完整發現紀錄同正式數學論文。
參考來源
- TechNews 科技新報 — 數學界天翻地覆，代數幾何 87 年懸案「雅可比猜想」遭 Claude 證偽 — original report
- Levent Alpöge 公開反例帖文 — 最初消息源，列出映射、三組輸入點同對 Fable 嘅歸功。
- Claude Fable 5 and Claude Mythos 5 — Anthropic 官方產品公告，用嚟核實 Fable 5 身份、推出時間同科研定位。
- Direct Consequences of the Three-Dimensional Counterexample to the Jacobian Conjecture — Zihan Zhang 列出反例計算、行列式結果，同三維以上嘅直接後果。
- The Jacobian counterexample, explained — 提供背景解說、精確符號運算檢查同可重現程式，亦清楚分開 AI 參與同數學證據。
本文根據原文及公開資料整理；資料有出入時，以原文及官方資料為準。
